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设x₁, x₂∈{x｜x≠0}且x₁＜0，则x₂＝- 1/x₁

原式：

已知对定义域内的任意x₁, x₂, 有：

f(x₁ * x₂)＝f(x₁) + f(x₂)

现在：

∵- 1/x₁ × x₂＝- 1∴有f(x₂)＝f(- 1/x₁)＋f(x₂)

移项有：

∴f(- 1/x₁)＝f(x₁)＋f(x₂)－f(x₂)

∵定义域为｛x｜x≠0｝

∴f(- 1/x₁)＝f( - 1/x₁ * 1)＝f( - 1/x₁)＋f(1)

∴有：

f( - 1/x₁)＋f(1)＝f(x₁)

∴当且仅当x₁＜0时，有f( - 1/x₁)＝f(x₁)

即当定义域内的任意x₁时，都有f(- 1/x₁)＝f(x₁)

∴函数f(x)为偶函数。

设g(x)的定义域为｛x｜- ∞ < x < ∞｝，且对定义域内的任意实数m, n，都有g(m*n)=g(m)+g(n)，求证：g(x)为奇函数。

设m, n∈｛m｜-∞ < m < ∞｝，当m为奇数时，则m²也为奇数

设-m'是奇数，m'-n'=2k (其中k是奇数）那么 m+m'=n'-m+2k'+m=(n+n')*√3 从而得到-√3 ≤ m'＜m＜n'≤√3 (或n')≤√3＜n

设h(m')是偶数函数。∴g(- m')=g(- m'+k)+g(- k)=g(- m')+g(- k)+g(k)=g(- m')+g(k)-g(k)=g(- m')-g(m')为奇函数

当-m'-n'都是奇数时即：-n'+n=(k'-k)*√3 是偶数 所以：h(- m')+h(- n')=h(- (k'-k))=h((k+k)')=h((k+

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